Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 14

Sejam ϕ 1 ,   ϕ 2 ,   .   .   .   ,   ϕ n ,   .   .   . as autofunções normalizadas da equação diferencial (3) sujeita às condições de contorno (2). Se

∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x

convergir para f ( x ) , em que f ( x )   =   0 para todo x em 0   ≤   x   ≤   1 , mostre que c n =   0 para todo n .

Sugestão: Multiplique por r x ϕ m ( x ) , integre e use a propriedade de ortogonalidade das autofunções.

Passo 1

Na teoria deste capítulo, vimos que as autofunções normalizadas da equação diferencial (3):

Convergem para f x / r x :

f x r x = ∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x

Podemos seguir a sugestão multiplicar por r x ϕ m ( x ) de ambos lado...

f x ϕ m x = r x ϕ m x ∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x     →

f x ϕ m x = ∑ n = 1 ∞ c n r x ϕ m x ϕ n x  

Como f x é 0 ...

∑ n = 1 ∞ c n r x ϕ m x ϕ n x = 0

Integrando de ambos os lados e invertendo a integral com a série:

∫ ∑ n = 1 ∞ c n r x ϕ m x ϕ n x d x = 0   →

∑ n = 1 ∞ c n ∫ r x ϕ m x ϕ n x d x = 0

Ora! Sabemos do capítulo anterior que essa integral aí é a que define ortogonalidade. Como os autovalores são ortogonais, essa integral é...

∑ n = 1 ∞ c n δ n m = 0

O delta de Dirac! Como esse δ n m só não é zero para 1 valor, n = m , onde ele vale 1 , podemos dizer que esse somatório é a soma de vários zeros e um único valor não nulo: o c n = c m . Então pela igualdade com o zero do lado esquerdo...

c n = 0

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores. y ' ' + 4 π 2 y = a + x , y 0 =
A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s
Em cada um dos problemas de 6 a 9, determine uma expansão formal em série de autofunções para a solução do problema dado. Suponha que f satisfaz as condições do Teorema 11.3.1. Diga para quais valores
Em cada um dos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansão em autofunções. y ' ' + 2 y = - x , y ' 0 = 0 , y ' 1 = 0 Sugestão: veja a Seção 11.2, Problema 3.
Em cada um dos problemas de 19 a 22, use expansão em autofunções para encontrar a solução do problema de valores de contorno dado. u t = u x x + e - t 1 - x , u 0 ,t = 0 , u x 1 ,t = 0 ,u x ,0 = 0 Vej