Sejam ϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ n ,... as autofunções normalizadas da equação diferencial (3) sujeita às condições de contorno (2). Se ∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x convergir para f ( x ) , em que f ( x )=0 para todo x em 0≤x≤1 , mostre que c n =0 para todo n . Sugestão: Multiplique por r x ϕ m ( x ) , integre e use a propriedade de ortogonalidade das autofunções.

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 14

Sejam as autofunções normalizadas da equação diferencial (3) sujeita às condições de contorno (2). Se

convergir para , em que para todo em , mostre que para todo .

Sugestão: Multiplique por , integre e use a propriedade de ortogonalidade das autofunções.

Passo 1

Na teoria deste capítulo, vimos que as autofunções normalizadas da equação diferencial (3):

Convergem para :

Podemos seguir a sugestão multiplicar por de ambos lado...

Como é ...

Integrando de ambos os lados e invertendo a integral com a série:

Ora! Sabemos do capítulo anterior que essa integral aí é a que define ortogonalidade. Como os autovalores são ortogonais, essa integral é...

O delta de Dirac! Como esse só não é zero para valor, , onde ele vale , podemos dizer que esse somatório é a soma de vários zeros e um único valor não nulo: o . Então pela igualdade com o zero do lado esquerdo...

Resposta

Questão de demonstração.

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