Sejam ϕ 1 ,   ϕ 2 ,   .   .   .   ,   ϕ n ,   .   .   . as autofunções normalizadas da equação diferencial (3) sujeita às condições de contorno (2). Se

∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x

convergir para f ( x ) , em que f ( x )   =   0 para todo x em 0   ≤   x   ≤   1 , mostre que c n =   0 para todo n .

Sugestão: Multiplique por r x ϕ m ( x ) , integre e use a propriedade de ortogonalidade das autofunções.

Passo 1

Na teoria deste capítulo, vimos que as autofunções normalizadas da equação diferencial (3):

Convergem para f x / r x :

f x r x = ∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x

Podemos seguir a sugestão multiplicar por r x ϕ m ( x ) de ambos lado...

f x ϕ m x = r x ϕ m x ∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x     →

f x ϕ m x = ∑ n = 1 ∞ c n r x ϕ m x ϕ n x  

Como f x é 0 ...

∑ n = 1 ∞ c n r x ϕ m x ϕ n x = 0

Integrando de ambos os lados e invertendo a integral com a série:

∫ ∑ n = 1 ∞ c n r x ϕ m x ϕ n x d x = 0   →

∑ n = 1 ∞ c n ∫ r x ϕ m x ϕ n x d x = 0

Ora! Sabemos do capítulo anterior que essa integral aí é a que define ortogonalidade. Como os autovalores são ortogonais, essa integral é...

∑ n = 1 ∞ c n δ n m = 0

O delta de Dirac! Como esse δ n m só não é zero para 1 valor, n = m , onde ele vale 1 , podemos dizer que esse somatório é a soma de vários zeros e um único valor não nulo: o c n = c m . Então pela igualdade com o zero do lado esquerdo...

c n = 0

Resposta

Questão de demonstração.

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