Um fabricante de brinquedos tem um novo brinquedo para lançar no mercado e deseja determinar o preço de venda do brinquedo, tal que o lucro total seja máximo. Pela análise do preço e da demanda de outro brinquedo similar, ele previu que se brinquedos forem demandados quando for preço unitário, então , e a demanda deverá ser $1.800 quando o preço for $10. Se for o custo total da produção de brinquedos, então . Ache o preço que deverá ser fixado para que o lucro do fabricante seja máximo.

A receita total é dada pela expressão , onde é o preço da unidade e é a quantidade de unidades vendidas. Pelo enunciado, temos , então pela integração devemos conseguir obter . Temos então:

Integrando os dois lados:

Mas sabemos que pra um preço de $10 temos 1.800 unidades demandadas, então:

Obtemos então o preço em função da demanda:

Então a receita total fica:

Agora que temos as funções do custo total e da receita total, podemos obter a função lucro:

Para acharmos o valor máximo para essa função no intervalo , devemos achar os pontos críticos. Derivando :

Além disso:

Como existe para todo positivo, teremos pontos críticos apenas quando .

Temos então em o único ponto crítico oara positivo. Se para , a concavidade da função é para baixo nesse intervalo e então temos em um ponto máximo local. Além disso, é negativo para e quando é muito grande, o que comprova que temos em um máximo global. Agora podemos achar o preço usando esse valor de :