Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 53
Um fabricante de brinquedos tem um novo brinquedo para lançar no mercado e deseja determinar o preço de venda do brinquedo, tal que o lucro total seja máximo. Pela análise do preço e da demanda de outro brinquedo similar, ele previu que se brinquedos forem demandados quando for preço unitário, então , e a demanda deverá ser $1.800 quando o preço for $10. Se for o custo total da produção de brinquedos, então . Ache o preço que deverá ser fixado para que o lucro do fabricante seja máximo.
Passo 1
Sabemos que a função lucro é dada pela expressão , onde é o custo total e é a receita obtida na venda de unidades. Já temos , devemos então obter a expressão da receita total para então achar a função lucro e tentar maximizá-la.
Passo 2
A receita total é dada pela expressão , onde é o preço da unidade e é a quantidade de unidades vendidas. Pelo enunciado, temos , então pela integração devemos conseguir obter . Temos então:
Integrando os dois lados:
Mas sabemos que pra um preço de $10 temos 1.800 unidades demandadas, então:
Obtemos então o preço em função da demanda:
Então a receita total fica:
Passo 3
Agora que temos as funções do custo total e da receita total, podemos obter a função lucro:
Para acharmos o valor máximo para essa função no intervalo , devemos achar os pontos críticos. Derivando :
Além disso:
Como existe para todo positivo, teremos pontos críticos apenas quando .
Temos então em o único ponto crítico oara positivo. Se para , a concavidade da função é para baixo nesse intervalo e então temos em um ponto máximo local. Além disso, é negativo para e quando é muito grande, o que comprova que temos em um máximo global. Agora podemos achar o preço usando esse valor de :
Resposta
$5, quando a quantidade demandada for de 4.800 unidades.