Enunciado

Faça a antidiferenciação

int x^4 sqrt(x^5 - 1) d x

Passo 1

Putz, aqui não temos nenhuma integral direto para fazer.

Mas como temos x^5 dentro da raiz e x^4 fora, vamos fazer uma substituição simples, com:

x^5 - 1 = a

Isso porque teremos:

d a = 5 x^4 d x -> x^4 d x = (d a)/(5)

E a nossa integral vai ficar:

int x^4 sqrt(x^5 - 1) d x = int (sqrt(a) d a)/(5) = (1)/(5) int sqrt(a) d a

Passo 2

Resolvendo essa integral de a

(1)/(5) int sqrt(a) d a

Vamos usar:

int a^n d x = (a^(n + 1))/(n + 1) , s e n != 1

Mas ali não é um polinômio!!! Calma jovem gafanhoto, é sim, olha só:

sqrt(a) = a^((1)/(2))

Bora:

(1)/(5) int sqrt(a) d a = (1)/(5) int a^((1)/(2)) d a = (1)/(5) (a^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) + C = (1)/(5) (a^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C = (2)/(15) a^((3)/(2)) + C

Precisamos voltar para x

a = x^5 - 1

Entao:

= (2)/(15) a^((3)/(2)) + C = (2)/(15) (x^5 - 1)^((3)/(2)) + C

Resposta

(2)/(15) (x^5 - 1)^((3)/(2)) + C

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