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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 36

Calcule a integral.

∫ 0 1 10 x   d x

Passo 1

Oi, tudo tranquilo por aí? Nessa questão, queremos encontrar a integral

∫ 0 1 10 x   d x .

Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Saca só o que ele diz:

  • Se F é uma primitiva de f , ou seja, se F ' = f , então

∫ a b f x d x = F x ​ a b =   F b - F a .

Mas para a integral que estamos tentando encontrar, temos que a = 0 , b = 1 e

f x =   10 x .

Dessa forma, precisamos encontrar uma primitiva F para a função f e usar o Teorema para calcular o valor da integral pedida.

Bora lá!

Passo 2

Para encontrarmos uma primitiva para a função f x =   10 x

precisamos lembrar que a derivada de uma função g x = a x , com a sendo uma constante qualquer, é dada por

d d x a x = a x ln ⁡ x .

Dessa forma, temos que uma primitiva para a função f é dada por

F x = 10 x ln ⁡ ( 10 )

pois (usando a Regra do Produto para derivadas)

d d x F ( x ) = 10 x ln ⁡ ( 10 ) ⋅ ln ⁡ ( 10 ) ln ⁡ ( 10 ) 2 =   10 x .

Passo 3

Por fim, pelo Teorema temos que:

∫ 0 1 10 x   d x = F 1 - F 0 .

Mas, como

F 1 = 10 1 ln ⁡ ( 10 ) = 10 ln ⁡ ( 10 )

e

F 0 =   10 0 ln ⁡ ( 10 ) = 1 ln ⁡ ( 10 ) ,

Então a integral procurada vale:

∫ 0 1 10 x   d x = 10 ln ⁡ 10 - 1 ln ⁡ 10 = 9 ln ⁡ 10 .

Resposta

A integral é:

∫ 0 1 10 x   d x = 9 ln ⁡ 10

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