(b) Use as Fórmulas (3) e (4) para obter (7).

Passo 1

A Fórmula (3) e a (4) são essas relações aqui:

d d x s e n   x = cos ⁡ x

d d x cos ⁡ x = - s e n   x

Precisamos usar elas para chegar em:

d d x c o t g   x = - c o s s e c 2 x

Ou seja, a gente quer calcular a derivada de cotangente através das derivadas de seno e cosseno.

Vamos começar!

Passo 2

Queremos calcular:

c o t g   x '

Podemos reescrever:

c o t g   x ' = cos ⁡ x sen ⁡ x '

É uma derivada de uma divisão de funções que a gente conhece, então precisamos usar a regra do quociente:

cos ⁡ x sen ⁡ x ' = c o s   x ' sen ⁡ x - c o s   x   sen ⁡ x ' sen 2 ⁡ x = - sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x

Só lembrar que:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Então colocando o sinal de menos em evidência:

cos ⁡ x sen ⁡ x ' = - 1 sen 2 ⁡ x = - c o s s e c 2 x

O que é o mesmo que dizer que:

c o t g   x ' = - c o s s e c 2 x

Que é o que tínhamos que provar!

Resposta

Dedução nos passos

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