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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 44b

(b) Use as Fórmulas (3) e (4) para obter (7).

Passo 1

A Fórmula (3) e a (4) são essas relações aqui:

(d)/(d x) [s e n x] = cos x

(d)/(d x) [cos x] = - s e n x

Precisamos usar elas para chegar em:

(d)/(d x) [c o t g x] = - c o s s e c^2 x

Ou seja, a gente quer calcular a derivada de cotangente através das derivadas de seno e cosseno.

Vamos começar!

Passo 2

Queremos calcular:

(c o t g x)^'

Podemos reescrever:

(c o t g x)^' = ((cos x)/(sen x))^'

É uma derivada de uma divisão de funções que a gente conhece, então precisamos usar a regra do quociente:

((cos x)/(sen x))^' = ((c o s x) ' sen x - c o s x (sen x) ')/(sen^2 x) = (- sen^2 x - cos^2 x)/(sen^2 x)

Só lembrar que:

s e n^2 x + cos^2 x = 1

Então colocando o sinal de menos em evidência:

((cos x)/(sen x))^' = (- 1)/(sen^2 x) = - c o s s e c^2 x

O que é o mesmo que dizer que:

(c o t g x)^' = - c o s s e c^2 x

Que é o que tínhamos que provar!

Resposta

Dedução nos passos

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