Faça uma conjectura sobre as equações das assíntotas horizontais, se houver, por meio do gráfico da equação obtida por um recurso computacional; verifique sua resposta usando a regra de L’Hôpital.

55.

Pra verificarmos a equação da assíntota vertical que vemos que existe no gráfico, podemos calcular o limite da função para quando tende a (+) infinito, usando a regra de L’Hôpital.

Vamos ter:

Se aplicamos diretamente na função, teríamos a indeterminação:

Essa indeterminação não nos permite usar diretamente a regra de L’Hôpital, portanto precisamos mexer um pouco na nossa função pra usá-la.

Existe uma propriedade matemática que diz o seguinte:

Reescrever nossa função dessa maneira e calcular o limite vai nos ajudar a chegar em uma indeterminação , passível de se usar a regra de L’Hôpital!

Vamos ter:

Como a função exponencial é contínua, vale a propriedade de que o limite dessa função equivale à função do limite. Como assim? Vejamos:

Assim, só nos resta calcular o limite, e depois elevar a esse valor!

Aqui podemos aplicar a regra de L’Hôpital diretamente. Derivando numerador e denominador – usando a regra da cadeia no numerador – teremos:

Por fim, elevamos a 0, e teremos:

Assim, a equação da assíntota horizontal que temos será , confirmando o que vemos no gráfico!