Faça a correspondência entre o campo vetorial F → e a figura rotulada de I - I V . Justifique suas escolhas.

F(x, y) = 〈y, 1/x〉

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo joia?

A questão nos dá 4 imagens de campos vetoriais e quer que a gente identifique qual delas descreve o campo:

F → x , y = y , 1 / x

Esse vetor tem componentes:

F → x , y = y   i + 1 x   j

A componente i   aponta na direção x e a componente j na direção y . Então para cada direção temos uma função, aqui é a função y   pra direção i e a função 1 x para a direção j . Então para cada quadrante vamos analisar o comportamento dos pontos x e y   do plano para as funções y e 1 x   e assim conseguimos entender para qual direção cada componente do vetor deve estar apontando, e assim identificar nosso campo correto.

Vem comigo!

Passo 2

F → x , y = y   i + 1 x   j

  • Primeiro quadrante: x > 0 e y > 0
  • Ambas as componentes devem ser positivas.

  • Segundo quadrante: x < 0 e y > 0
  • Componente horizontal negativa e vertical positiva, já que nossas funções não mudam o sinal de x e y .

  • Terceiro quadrante: x < 0 e y < 0
  • Ambas as componentes devem ser negativas.

  • Quarto quadrante: x > 0 e y < 0

Componente horizontal positiva e vertical negativa, já que nossas funções não mudam o sinal de x e y .

Juntando essas informações, vemos que o campo vetorial F → x , y = y , 1 / x     pertence ao gráfico I I I .

Além disso, os vetores ficam maiores à medida que eles se aproximam da origem.

Resposta

I I I

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