Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I - I V ). Justifique suas escolhas.

f x ,   y = x + y 2

Passo 1

E aii, galera!

Nessa questão temos uma função de duas variáveis:

f x ,   y = x + y 2

E temos que descobrir qual das quatro imagens que ela deu representa o campo vetorial gradiente dela.

Pra isso, vamos primeiro calcular o gradiente, que é:

∇ f x , y = f x   i ^ + f y   j ^

E então estudar como ele se comporta de acordo com o ponto x , y , pra relacionar com um dos campos desenhados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada em função de x , considerando y constante:

f x = ∂ x + y 2 ∂ x = 2 ( x + y )

E em função de y , com x constante:

f y = ∂ x + y 2 ∂ y = 2 ( x + y )

Então o campo gradiente é:

∇ f x , y = 2 x + y i ^ + 2 x + y j ^

Passo 3

Agora percebe que as duas componentes dos vetores do campo gradiente são iguais!

Bom, os vetores vão ter essa característica:

Como esse triângulo é retângulo, temos que:

tg ⁡ α = 2 x + y 2 x + y = 1

⇒ α = 45 °

Ou seja, todos os vetores têm essa angulação, e são paralelos à reta y = x .

A única imagem que tem os vetores assim é a I I .

Resposta

I I

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