Enunciado

Faça um esboço do gráfico da função dada.

g (x) = arctan 2 x

Passo 1

A questão pede para esboçarmos o gráfico da função g ( x ) = arctan 2 x . Para esboçarmos gráficos de funções trigonométricas inversas, uma dica muito importante é ver o comportamento da função trigonométrica correspondente.

Para isso, vamos inverter a relação y = arctan 2 x :

2 x = tan y => x = (1)/(2) tan y

Assim, g é a função inversa de h , isto é, g = h^(- 1) , onde

h (x) = (1)/(2) tan x

Vamos esboçar primeiro o gráfico de h :

Para que h tenha inversa ela deve ser injetora, por isso restringimos seu domínio para o intervalo - (pi)/(2) < x < (pi)/(2) . Sua imagem vai de - oo até + oo .

Passo 2

Como g é o inverso de h , seu domínio vai de - oo até + oo , porém sua imagem é restrita ao intervalo - (pi)/(2) < y < (pi)/(2) . Para traçar o gráfico de g , basta lembrar que o gráfico de uma função e sua inversa são simétricos com relação a reta y = x . Assim, o gráfico de g será

Resposta

Esboço de gráfico.

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Em cada parte, use o texto da reta horizontal para determinar se a função f é injetora: a )f x = 32 + x b )f x = x - 1 c )f x = x d )f x = x 3 e )f x = x 2 - 2 x + 2 f )f x = sen ⁡ x
Encontre a fórmula para f^(- 1) (x) 11 ) f (x) = 3 x^3 - 5