Enunciado

Teorema do valor médio

a. Demonstre que y = t g θ é crescente em cada intervalo de seu domínio.

b. Se a conclusão no item (a) estiver mesmo correta, como você explica o fato de t g π = 0 ser menor do que t g π / 4 = 1 ?

Passo 1

Para observar se a função cresce ou decresce no seu domínio deve-se encontrar a sua derivada para poder avaliar o seu comportamento.

Passo 2

Dessa forma, derivando a função tem-se que:

y ' = s e c 2 θ

Como a função y ' = s e c 2 θ resulta apenas em valores positivos, isso significa que y está sempre crescendo em todo o seu domínio e, logo, é crescente em cada intervalo de seu domínio.

Passo 3

Analisando o intervalo fechado π / 4 , π , pode-se notar que a função t g θ não é definida em θ = π / 2 e, consequentemente, esse intervalo não está contido no domínio da função.

Portanto, ela não necessariamente cresce no intervalo π / 4 , π .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove: Se f ' ' x0 em cada x de (a, b), então f ' x = 0 no máximo uma vez em (a, b).Dê uma interpretação geométrica do resultado em (a).
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Seja f x = x 2x ≤ 0 x 2 + 1 , x0 Mostre que lim x → 0 - ⁡ f ' x = l i m x → 0 + f ' x Mas que f ' 0 não existe.Seja f x = x 2x ≤ 0 x 3 , x0 Mostre que lim x → 0 - ⁡ f ' x = l i m x → 0 + f ' x Mas que