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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 27

Mostre que função r( θ ) = sec ⁡ θ - 1 θ ³ + 5   , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (0, π 2 ).

Passo 1

Queremos provar que no intervalo dado existe apenas uma raiz para a função r ( θ ) . Para isso, analisaremos a derivada da nossa função de tal forma que se ela não for igual a 0 no intervalo dado e conseguirmos encontrar 2 valores para r ( θ ) de tal forma que um seja maior e o outro seja menor que 0, além disso, a nossa função estar crescendo no intervalo, conseguiremos provar que existe apenas uma raiz no intervalo em análise.

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a nossa função r θ = sec ⁡ θ - 1 θ 3 + 5 :

r θ = sec ⁡ θ - θ - 3 + 5

r ' ( θ ) = sec ⁡ θ * t g θ - - 3 * θ - 3 - 1

r ' θ = sec ⁡ θ * t g θ + 3 * θ - 4

r ' θ = sec ⁡ θ * t g θ + 3 θ 4

Passo 3

Percebemos que r ' é sempre maior do que 0 em ( 0 , π 2   ) , devido ao polinômio e as funções trigonométricas serem diferentes de 0 nesse intervalo, a derivada da função sendo maior que 0 no intervalo implica que a nossa função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Para concluirmos o problema, resta- nos encontrar um valor para o qual a função seja positiva e um para que ela seja negativa, de tal forma que conseguiremos mostrar que existe uma raiz entre esses valores garantido pelo teorema do valor médio. Tomemos, por exemplo, os valores θ = 0.1   e   θ = 1.5 que são valores próximos das extremidades do intervalo.

Para o primeiro valor temos:

r 0.1 = sec ⁡ 0.1 - ( 0.1 ) - 3 + 5

r 0.1 ≈ 1 - 1000 + 5

r 0.1 ≈ - 994 < 0

Para o segundo valor teremos:

r 1.5 = sec ⁡ 1.5 - ( 1.5 ) - 3 + 5

r 1.5 ≈ 1 - 0.29 + 5

r 1.5 ≈ 5 . 71 > 0

∴ e x i s t e   a p e n a s   u m a   r a í z   d e n t r o   d e s s e   i n t e r v a l o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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