Enunciado

Faça o gráfico da curva y = (x^2 + 1)/(x)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = (x^2 + 1)/(x)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = 0 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x != 0 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f (x) = 0 , perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x^2 + 1 = 0 => x = +- sqrt(- 1)

Porém, raízes quadradas de números negativos não existem nos reais, sendo assim f ( x ) não possui raízes e consequentemente não toca o eixo x .

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f^' (x) = ((2 x) (x) - (x^2 + 1) ( 1 ))/(x^2)

= (2 x^2 - x^2 - 1)/(x^2)

= (x^2 - 1)/(x^2)

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f^(' ') (x) = (2 x . x^2 - (x^2 - 1) 2 x)/(x^2)

= (2 x^3 - 2 x^3 - 2 x)/(x^2)

= (- 2 x)/(x^2)

= (- 2)/(x)

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^' (x) = (x^2 - 1)/(x^2) = 0 => x^2 - 1 = 0 => x^2 = 1 => x = +- 1

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - oo , - 1 ) x = - 1 , f ' ( x ) assume valores positivos ( f (x) cresce). E para valores dentro do intervalo ( - 1,0 ) x = - 1 , f ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f (x) decresce). Logo, x = - 1 é um ponto de máximo no intervalo de ( - oo , 0 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 ) x = 1 , f ' ( x ) assume valores negativos ( f (x) decresce). E para valores dentro do intervalo ( 1 , + oo ) x = 1 , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f (x) cresce). Logo, x = 1 é um ponto de mínimo no intervalo de ( 0 , + oo ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = (- 2)/(x) = 0

Perceba que não é possível encontrar um valor para x , de maneira que a igualdade acima seja satisfeita, sendo assim f ' ( x ) não possui pontos de inflexão e consequentemente f ( x ) não tem mudanças de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(l i m) (x^2 + 1)/(x) = oo

Logo, f (x) não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = 0 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

underset(x -> 0^-)(lim) f (x) = - oo e underset(x -> 0^+)(l i m) f (x) = oo

Logo, f (x) possui uma assíntota vertical em x = 0 .

Além disso, perceba que utilizando o método para determinar assíntotas obliquas, encontraremos que y = x é uma assíntota obliqua para f ( x ) .

Resposta

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