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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 53 a

underset(x -> 2^+)(lim) (1)/(x^2 - 4)

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 2 pela direita.

Aplicando o limite, pela regra do quociente

underset(x -> 2^+)(lim) (1)/(x^2 - 4) = (underset(x -> 2^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 2^+)(l i m) ( x^2 - 4 ))

Passo 2

Usando o limite da subtração é a subtração dos limites, temos:

(underset(x -> 2^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 2^+)(l i m) ( x^2 - 4 )) = (underset(x -> 2^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 2^+)(l i m) x^2 - underset(x -> 2^+)(l i m) 4)

Perceba que o numerador nos resulta 1, enquanto o denominador se anula . Quando isso acontece, nosso limite tende à oo .

Passo 3

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Perceba que, usando Bháskara em x^2 - 4 , teremos que x = - 2 e x = 2 são raízes, então reescreveremos x^2 - 4 = (x + 2) (x - 2) .

Substituindo as igualdades lá no limite,

underset(x -> 2^+)(lim) (1)/(x^2 - 4) = underset(x -> 2^+)(l i m) (1)/((x + 2) (x - 2))

Passo 4

Como se aproxima de 2 , por valores maiores que 2, o numerador resultante é positivo, bem como o denominador é positivo. Ou seja,

(p o s i t i v o)/(p o s i t i v o * p o s i t i v o) = (p o s i t i v o)/(p o s i t i v o) = p o s i t i v o

Resposta

underset(x -> 2^+)(lim) (1)/(x^2 - 4) = oo

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