1. A primeira coisa que vamos fazer é plotar o gráfico de , Dá uma olhada:



Agora, iremos dar o zoom em cada ponto do gráfico em que nós é pedido para encontrar a derivada. Se aproximarmos bem, vai chegar um momento em que vamos acabar enxergando uma reta, e essa reta é como se fosse uma aproximação da nossa reta tangente ao ponto. Olha como fica se aproximarmos perto da região em torno de :



Ta tipo uma reta na horizontal né? Sabemos que uma reta na horizontal não tem inclinação e, como essa inclinação é justamente o valor da derivada no ponto, podemos estimar então que .

Passo 2

Continuando nossas estimações a partir do gráfico, dando o zoom no ponto vamos ficar com isso aqui:



Perceba que, nessa reta, temos os pontos e . Podemos usar esses caras para calcular a inclinação dessa reta aí através da fórmula:

Vamos aplicar ela aos valores que temos:

Isso quer dizer que, pela nossa estimativa, .

Passo 3

Indo agora para o ponto :



Aqui vamos utilizar os pontos e para estimar a derivada. Teremos então:

Logo, a partir dessa continha aí, estimamos que

Passo 4

Dando o zoom agora em :



Pegando os pontos e vamos ter:

Assim, nossa nos diz que .

Passo 5

Falta só mais uma derivada para estimarmos! Trabalhando agora com :



Pegando os pontos e vamos ter:

Terminamos nossa última aproximação gráfica! Aqui, estimamos que .

Passo 6

2. Como a função é uma função ímpar, ou seja:

Podemos usar um propriedade da derivada que diz que, se a é ímpar, então com certeza é par, sacou? Lembrando que a função par é aquela que obedece a seguinte lei:

Assim, de forma direta, podemos dizer que , , e .

Passo 7

3. Vamos pegar os valores de todas as derivadas que temos e organizar uma tabela! Vai ficar assim olha:



Dá para ver que é uma função par, com valores sempre positivos e que corta o eixo em . Plotando os pontos em um gráfico, teremos esse comportamento para :



Passo 8

4. Olhando pra função que a gente desenhou no item c, a gente repara que é uma parábola, certo? Então podemos supor que ela tem o formato de uma parábola:

E temos alguns pontos pra achar os valores de , e .

Quando , :

Aí já reduzimos a parábola para:

Quando

Quando

Daí resolvemos o sistema:

E achamos:

Então a equação da parábola será:

Passo 9

5. Agora vamos treinar umas continhas e resolver a derivada de pela definição! Caso você não esteja lembrando como ela é, dá uma olhadinha:

Sabemos que e já vamos substituir na fórmula. Além disso, . Saca só como vai ficar:

O termo é um produto notável cubo da soma, então a gente consegue expandir ele desse jeitinho aqui:

Cancelando com :

Agora, nós vamos colocar o do numerador em evidencia, ta bom? Assim podemos cancelar com o do denominador:

Beleza, nosso limite tá prontinho para ser resolvido! Tudo o que precisamos fazer é a substituição para rencontrar nosso resultado:

Prontinho! Nosso resultado mostra que, pelo visto, a derivada é realmente , o que encerra o nosso exercício!