Enunciado

Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto têm em comum as suas soluções?

16-

d 2 y d x 2 - 2 d y d x + 5 y = 0

Passo 1

A equação auxiliar resolver essa EDO é:

r 2 - 2 r + 5 = 0

Por Bháskara temos as raízes:

r 1 ; r 2 = 2 ± 2 2 - 4 × 5 2 = 1 ± - 16 2

Raízes complexas:

r 1 ; r 2 = 1 ± 2 i

Onde α = 1 e β = 2

Passo 2

A cara da solução quando temos raízes complexas é igual a:

y = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n   β x

Logo a solução será igual a:

y = e x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x

O link que vai nos auxiliar para conseguirmos ver o comportamento dessa função é:

https://www.desmos.com/calculator/8bonyqgqze

E o gráfico pode ser visto aqui:

Os gráficos tem essa característica oscilatória e para x → ∞ temos uma divergência e para x → ∞ y → 0

Resposta

Link do passo 2.

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Resolva as equações:h ) lambda^2 + 5 = 0
Calcule a e b:e ) (i - 1)^4 = a + b i
Resolva as equações:a ) z^2 + 1 = 0
Resolva as equações:f ) lambda^2 + 4 = 0
Resolva as equações:g ) lambda^2 + lambda + 2 = 0