Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A   como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .

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Passo 1

Essa questão é mais legal, é mais fácil encontrar os parâmetros para esse problema em coordenadas polares porém precisamos saber ver qual o valor de r e θ para essa figura.

O valor de r é o valor da hipotenusa formada pelo triângulo retângulo com catetos 2 e 2   visto abaixo.

Dessa forma por Pitágoras temos:

r 2 = 2 2 + 2 2

r = 2 2

Então r vai de 0 até 2 2 .

Passo 2

Como a reta inclinada passa por 0,0 e por ( 2,2 ) então podemos ver por y = m x + b que essa reta é igual a y = x e essa reta por ter coeficiente angular igual a 1 nos diz que ela faz uma ângulo com a horizontal x igual a π / 4 e por ela ser um semi círculo nos diz que ela vai de π / 4 até π + π 4 = 5 π 4 , logo a integral iterada para a função f seria igual a:

∫ π 4 5 π 4 ∫ 0 2 2 f r cos ⁡ θ , r s i n   θ d r   d θ

Essa visão você precisa realmente ter sobre coordenadas polares, o quanto que se varia r para completar área e o percorrimento de θ indo do começo até o final no sentido anti-horário

Resposta

∫ π 4 5 π 4 ∫ 0 2 2 f r cos ⁡ θ , r s i n   θ d r   d θ

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