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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 16

Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto as soluções têm em comum?

2 d 2 y d x 2 + d y d x - y = 0

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r 2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

2 r 2 + r - 1 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1 = - 1 + 1 - 4 2 - 1 2 × 2 = - 1 + 3 4 = 1 2

r 1 = - 1 - 1 - 4 2 - 1 2 × 2 = - 1 - 3 4 = - 1

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = c 1 e x 2 + c 2 e - x

Abaixo, nós temos os gráficos das mais diversas soluções que a equação diferencial tem.

Resposta

A solução geral da equação é:

y = c 1 e x 2 + c 2 e - x

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Resolva o problema de condição inicial.17.y^(' ') + 3 y = 0 , y (0) = 1 , y^' (0) = 3
Resolva a equação diferencial.10.3 y^(' ') + 4 y^' - 3 y = 0
Resolva a equação diferencial.11.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (d y)/(d t) - y = 0
Resolva a equação diferencial.6.9 y^(' ') + y = 0
Resolva a equação diferencial.2.y^(' ') - 6 y^' + 9 y = 0