É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 1 ∞ cos ⁡ 2 x x   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Vamos usar integração por partes para achar uma primitiva

∫ 1 t cos ⁡ 2 x x   d x

Lembrando que

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = 1 / x e d v = cos ⁡ 2 x   d x , segue que

d u = - 1 x 2         e           v = 1 2 s e n   2 x

Assim,

∫ 1 t cos ⁡ 2 x x   d x = s e n   2 x 2 x 1 t + 1 2 ∫ 0 t s e n   2 x x 2   d x

Fazendo t → ∞ , temos que

lim t → ∞ ⁡ s e n   2 t 2 t = lim t → ∞ ⁡ 1 2 t ⋅ s e n   2 t = 0

O limite é nulo por 1 2 t → 0 e s e n   2 t é limitada! Assim,

∫ 1 ∞ cos ⁡ 2 x x   d x = s e n   2 2 + 1 2 ∫ 0 ∞ s e n   2 x x 2   d x

Devemos verificar se essa segunda integral converge ou diverge.

Passo 2

Bom, sabemos que

s e n   2 x ≤ 1

Assim,

s e n   2 x x 2 ≤ 1 x 2

Como ∫ 1 ∞ 1 x 2   d x converge, segue que

∫ 1 ∞ s e n   2 x x 2   d x

converge e, assim,

∫ 0 ∞ s e n   2 x x 2   d x

também converge!

Passo 3

Portanto, como

∫ 1 ∞ cos ⁡ 2 x x   d x = s e n   2 2 + 1 2 ∫ 0 ∞ s e n   2 x x 2   d x

e a segunda integral converge, segue que

∫ 1 ∞ cos ⁡ 2 x x   d x

converge!

Resposta

Converge.

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