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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 1f

É convergente ou divergente? Justifique.

int_1^(oo) (cos 2 x)/(x) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Vamos usar integração por partes para achar uma primitiva

int_1^t (cos 2 x)/(x) d x

Lembrando que

int u d v = u v - int v d u

Chamando u = 1 // x e d v = cos 2 x d x , segue que

d u = - (1)/(x^2) e v = (1)/(2) s e n 2 x

Assim,

int_1^t (cos 2 x)/(x) d x = ((s e n 2 x)/(2 x))_1^t + (1)/(2) int_0^t (s e n 2 x)/(x^2) d x

Fazendo t -> oo , temos que

underset(t -> oo)(lim) (s e n 2 t)/(2 t) = underset(t -> oo)(lim) (1)/(2 t) * s e n 2 t = 0

O limite é nulo por (1)/(2 t) -> 0 e s e n 2 t é limitada! Assim,

int_1^(oo) (cos 2 x)/(x) d x = (s e n 2)/(2) + (1)/(2) int_0^(oo) (s e n 2 x)/(x^2) d x

Devemos verificar se essa segunda integral converge ou diverge.

Passo 2

Bom, sabemos que

|s e n 2 x| <= 1

Assim,

|(s e n 2 x)/(x^2)| <= (1)/(x^2)

Como int_1^(oo) (1)/(x^2) d x converge, segue que

int_1^(oo) |(s e n 2 x)/(x^2)| d x

converge e, assim,

int_0^(oo) (s e n 2 x)/(x^2) d x

também converge!

Passo 3

Portanto, como

int_1^(oo) (cos 2 x)/(x) d x = (s e n 2)/(2) + (1)/(2) int_0^(oo) (s e n 2 x)/(x^2) d x

e a segunda integral converge, segue que

int_1^(oo) (cos 2 x)/(x) d x

converge!

Resposta

Converge.

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