Enunciado

Utilizando o exercício 2, estude a convergência ou a divergência de cada uma das integrais a seguir.

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x ln ⁡ x + 1   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral imprópria converge ou diverge usando o resultado do exercício 2. Este resultado basicamente diz que se quisermos estudar a convergência de uma integral do tipo

∫ a ∞ f x   d x

em que f pode ser escrita como

f x = 1 x α   g x ,

com

lim x → ∞ ⁡ g x = L > 0 ,

segue que se α > 1 , a integral de f converge. Caso contrário, ela diverge. Esse critério é bem prático pois fugimos de qualquer comparação ou integral: basta fazer um limite!

Neste caso, temos

f x = ln ⁡ x x ln ⁡ x + 1 = 1 x ⋅ ln ⁡ x ln ⁡ x + 1

Passo 2

Assim, vemos que α = 1 e

g x = ln ⁡ x ln ⁡ x + 1

Para calcular o limite, note quando x → ∞ , ln ⁡ x → ∞ e ln ⁡ x + 1 → ∞ . Temos assim uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito e podemos aplicar a regra de L’hospital:

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x + 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 x + 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x = 1 > 0

Portanto, todas as condições do exercício 2 estão sendo satisfeitas. Como α = 1 , a integral diverge.

Resposta

Diverge.

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