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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 70

Faça uma substituição u dada por (5) para converter o integrando em uma função racional de u e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente de (a).

∫ sen ⁡ x sen ⁡ x + tg ⁡ x d x

Passo 1

Usaremos como substituição:

u = tg ⁡ x 2

sen ⁡ x   = 2 u 1 + u 2

tg ⁡ x   = 2 u 1 - u 2

d x = 2 1 + u 2 d u  

Portanto:

∫ sen ⁡ x sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 2 u 1 + u 2 2 u 1 + u 2 + 2 u 1 - u 2 2 1 + u 2 d u

Então:

∫ sen ⁡ x sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 4 1 + u 2 2 2 u 1 - u 2 + 2 u ( 1 + u 2 ) ( 1 + u 2 ) ( 1 - u 2 ) d u = ∫ 4 1 + u 2 2 4 u ( 1 + u 2 ) ( 1 - u 2 ) d u

Podemos dizer que:

∫ sen ⁡ x sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 4 u ( 1 + u 2 ) ( 1 - u 2 ) 4 u 1 + u 2 2 d u

Simplificando, temos:

∫ sen ⁡ x sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 1 - u 2 1 + u 2 d u = ∫ - 1 + 2 1 + u 2 d u

Resolvendo:

∫ sen ⁡ x sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = - u + 2 arc tg ⁡ u + C  

Substituindo u = tg ⁡ x 2 :

∫ sen ⁡ x sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = - tg ⁡ x 2 + 2 arc tg ⁡ tg ⁡ x 2 + C  

Passo 2

Utilizando um CAS:

Resposta

∫ sen ⁡ x sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = - tg ⁡ x 2 + 2 arc tg ⁡ tg ⁡ x 2 + C

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