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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 24

As massas pontuais m i estão localizadas nos pontos P i . Ache os momentos M x e M y e o centro de massa do sistema

m 1 = 6 ,   m 2 = 5 ,   m 3 = 1 ,   m 4 = 4 ;

P 1 1 ,   - 2 ,   P 2 3 ,   4 ,   P 3 - 3 ,   - 7 ,   P 4 6 ,   - 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente o momento do sistema e seu centro de massa com base nas aplicações estudadas.

Para isso, vamos usar as definições dos momentos M x e M y :

M x = ∑ i = 1 n m i y i

M y = ∑ i = 1 n m i x i

E calcularemos as coordenadas do centro de massa C m = x - ,   y - , dadas por:

x - = M y m

y - = M x m

Então, vamos substituir os valores de m que o enunciado nos deu e as coordenadas dos pontos P i nas equações dos momentos. Depois, vamos usar os valores dos momentos para calcular as coordenadas do centro de massa.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os momentos, somando os produtos das massas m 1 = 6 ,   m 2 = 5 ,   m 3 = 1 ,   m 4 = 4 pelos valores de y nos pontos P 1 1 ,   - 2 ,   P 2 3 ,   4 ,   P 3 - 3 ,   - 7 ,   P 4 6 ,   - 1 . Assim, temos:

M x = ∑ i = 1 n m i y i = 6 - 2 + 5 4 + 1 - 7 4 - 1

M x = - 3

Agora vamos fazer o mesmo para o momento em torno de y , usando os valores de x dos pontos e massas dadas:

M y = ∑ i = 1 n m i x i = 6 1 + 5 3 + 1 - 3 + 4 6

M y = 42

Passo 3

Agora, como o centro de massa é dado por C m = x - ,   y - e temos:

x - = M y m

y - = M x m

E m é a massa total do sistema. Dessa forma, temos:

x - = M y m = 42 6 + 5 + 1 + 4 = 42 16 = 21 8

E

y - = M x m = - 3 6 + 5 + 1 + 4 = - 3 16

Então, nosso centro de massa é C m = 21 8 ,   - 3 16 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C m = 21 8 ,   - 3 16

M x = - 3

M y = 42

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