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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 2

Calcule a integral.

int (s e n^3 x)/(cos x) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

Primeiro vamos usar a relação fundamental para reescrever o integrando:

int (s e n^3 x)/(cos x) d x = int (s e n^2 x s e n x)/(cos x) d x = int (( 1 - cos^2 x ))/(cos x) s e n x d x

Como a derivada do cosseno é menos seno, vamos fazer u = cos x => d u = - s e n x d x . Assim,

int (s e n^3 x)/(cos x) d x = - int (1 - u^2)/(u) d u = int (u - (1)/(u)) d u

Passo 2

Calculando a integral, obtemos

int (u - (1)/(u)) d u = (u^2)/(2) - ln |u| + C

Passo 3

Voltando para a variável original:

int (s e n^3 x)/(cos x) d x = (1)/(2) cos^2 x - ln |cos x| + C

Resposta

(1)/(2) cos^2 x - ln |cos x| + C

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