Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.3 - Ex. 78

Uma família de curvas é dada pelas equações

Onde é um número real e é um número inteiro positivo. Como o gráfico muda quando aumenta? Como ele muda quando varia? Ilustre traçando com uma ferramenta gráfica membros suficientes da família para justificar suas conclusões.

Passo 1

Como temos duas variáveis para controlar, vamos fixar uma enquanto a gente mexe na outra pra gente investigar o comportamento de uma de cada vez, beleza?

Primeiro vamos fixar e fazer variar.

- :

A curva parece que tá querendo dar um looping mas não deu ainda... vamos aumentar o .

- :

Opa, o que aconteceu foi que a curva se fechou alí no meio, dando um looping e meio que formando duas “pétalas”.

- :

Mais um looping, mais uma “pétala”.

- :

Outro looping, outra “pétala”. Agora parece uma florizinha!! Rsrs

Então quer dizer, parece que quando maior o valor de , mais loopings nossa curva dá.

Passo 2

Agora vamos investigar a influência do .

Para isso, vamos fixar , por exemplo.

Para , já sabemos a cara que a curva tem, pois já desenhamos aí em cima.

Agora vamos testar outros valores de , que é um número real e, portanto, pode ser negativo também.

- :

O que aconteceu foi que agora temos duas “flores” de três “pétalas” toda a curva aumentou de tamanho (repare que a escala desse gráfico é menor que quando ).

De novo, temos duas “flores” e nossa curva diminuiu de tamanho (essa escala é maior que a anterior), inclusive, o looping de dentro diminui mais que o de fora.

- :

O mesmo comportamento continuou sendo observado: a curva como um todo diminuiu de tamanho e o looping de dentro diminuiu mais que o de fora, tanto que chegou a desaparecer.

Ou seja, para o comportamento da curva é esse de ela ir diminuindo a medida que aumenta, sendo que o looping de dentro diminui mais que o de fora.