Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 20
Suponha que um circuito R-C em série tenha uma resistência variável. Se a resistência no instante é dada por , em que e são constantes, então (8) torna-se
Mostre que, se e , então
Passo 1
E aí, vamos lá?
Basicamente, o que temos que fazer aqui é resolver a EDO
Para e
Então vamos lá, temos:
Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato , olha, dividindo tudo por :
Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:
Onde
Na nossa equação , temos e então:
Substituindo o que temos na equação :
Vamos resolver essa integral aí de dentro separadamente beleza?
Passo 2
Temos
Sabemos que , então:
Agora vamos aplicar uma substituição simples , aí temos
Aplicando a regrinha da integração de polinômio, temos:
Como temos :
Passo 3
Substituindo em :
Então:
Beleza, essa é a nossa expressão genérica pra carga, agora precisamos aplicar que :
Substituindo esse na nossa expressão:
Como , temos:
Que é exatamente a expressão mostrada no enunciado :D
Então ta provadíssimoooo