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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 1a

Percurso de uma bicicleta Um ciclista de 66 kg em uma bicicleta de 7 kg inicia seu percurso no nível do solo a 9 m/s. O k na Equação 1 é de cerca de 3,9 kg/s.

a- Que distância o ciclista irá percorrer antes de parar completamente?

Passo 1

Podemos avaliar esse problema pela equação diferencial ordinária de arrasto linear (Equação 1):

m d v d t = - k v

Essa pode ser resolvida de modo de separação de variáveis. Assim:

d v v = - k m d t

∫ d v v = - k m ∫ d t

l n   v = - k m t + c ou passando o l n para o outro lado:

v = v 0 e - k m t , onde v 0 = e c

Passo 2

Analisando os dados no problema temos que:

mtot= 66kg(massa do ciclista) + 7kg(massa da bicicleta)

v 0 = 9 m/s

k=3,9kg/s

Passo 3

Para calcular a distância temos que ter em mente que:

s t = ∫ v d t

Inserindo essa informação na nossa equação de:

v = v 0 e - k m t

Temos que fazer então:

s t = ∫ v d t = ∫ v 0 e - k m t d t

s t = - m k v 0 e - k m t + c

Passo 4

No problemas temos primeiro que calcular c . Fazemos isso considerando que s 0 = 0 , ou seja nosso ponto de origem é nulo. Assim:

s 0 = - m k v 0 e 0 + c = 0

c = m k v 0

Substituindo os valores temos que:

c = 73 3,9 ⋅ 9

c = 2190 13

Passo 5

Substituindo na EDO, e fazendo as substituições dos valores do problema, temos que:

s t = - 73 3,9 ⋅ 9 e - 3,9 73 t + 2190 13 = - 2190 13 e - 3,9 73 t + 2190 13

s t = 2190 13 - 2190 13 e - 3,9 73 t

s t = 2190 13 1 - e - 3,9 73 t

Passo 6

A equação em si tem um caráter de decrescimento. Para acharmos o momento em que o ciclista irá parar fazemos o l i m → ∞ , seguindo o comportamento da função. Assim teremos a distância total percorrida:

l i m t → ∞ 2190 13 1 - e - 3,9 73 t = 2190 13 1 - e - ∞ = 2190 13 = 168,5 m   ( S I )

Resposta

Logo a distância do ciclista até parar será de:

s t = 168,5 m

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