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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.7 - Ex. 13

Um fazendeiro quer cercar uma área de 15   000   m 2 em um campo retangular e então dividí-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos minimizar o custo de uma cerca de forma que temos que cercar uma área de 15   000   m 2 em um campo retangular e então dividí-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo.

Ficou difícil de imaginar? Pois se liga na figura abaixo:

Bom... para a gente fazer isso, temos que relacionar a área desse retângulo com o perímetro e aplicar conceitos de maximização/minimização através de derivadas.

Bora lá?? 😉

Passo 2

Então... Do enunciado, a gente temque a área total é de 15000   m 2 .

Assim, de acordo com a figura, temos:

x y = 15000 ∴

x = 15000 y

E ainda pela figura a gente tem que o perímetro é a onde a gente vai inserir a cerca, ou seja:

P = 3 x + 2 y

Substituindo x , temos:

P = 45000 y + 2 y ∴

P = 45000 + 2 y 2 y

Passo 3

Para encontrarmos o mínimo de P basta derivarmos e igualar a zero:

P ' = 4 y 2 - 45000 - 2 y 2 y 2 = 2 y 2 - 45000 y 2

Igualando a zero

2 y 2 - 45000 y 2 = 0 ∴

2 y 2 - 45000 = 0 ∴

2 y 2 = 45000 ∴

y 2 = 22500 ∴

y = 150   m

Encontrando x

x = 15000 150 = 100   m

Logo, o perímetro mínimo é

P = 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 150 = 600 m

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

O fazendeiro deve delimitar a área com um comprimento de x = 100 m e uma largura de y = 150 m e dividí-la no meio, como mostra a figura

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