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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 3

Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R $   380000,00 para criar os bois e continuará gastando R $ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R $   18,00 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro?

Passo 1

O fazendeiro já gastou R $ 380000,00 e gasta diariamente R $ 2,00 com cada boi, sendo que possui 200 bois, logo gasta R $ 400,00 diariamente. Seu custo pode ser escrito então como:

C = 380000 + 400 t

Sendo t o tempo em dias.

O fazendeiro vende seus bois pelo quilo deles. Como eles já pesam 300 kg e engordam 1,5 kg por dia, o peso total dos 200 bois pode ser expresso como:

200 ( 300 + 1,5 t )

O preço do quilo hoje é R $ 18,00 e decai R $ 0,05 por dia. Logo o preço de venda é dado por:

V = 200 300 + 1,5 t . ( 18 - 0,05 t )

Queremos saber quando o lucro do fazendeiro é máximo. Assim, a função do lucro é dada por:

L = V - C

L = 200 300 + 1,5 t . 18 - 0,05 t - ( 380000 + 400 t )

L = 60000 + 300 t 18 - 0,05 t - ( 380000 + 400 t )

Passo 2

Como queremos o lucro máximo, podemos maximizar a função. Para isso vamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x . Temos então que:

L ' = 6000 + 300 t - 0,05 + 18 - 0,05 t . 300 - 400

L ' =   - 3000 - 15 t + 5400 - 15 t - 400

L ' = 0 ⇒ - 30 t + 2000 = 0 ⇒ - 30 t =   - 2000 ⇒ t = 2000 30 ≈ 67   d i a s

Passo 3

Pelo teste da segunda derivada, temos que: Seja f uma função derivável num intervalo ( a , b ) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ' c = 0 ,   c o m   a < c < b . Se f admite a derivada f ' ' em ( a , b ) , temos:

  1. Se f ' ' c > 0   ,   f   t e m   u m   v a l o r   m í n i m o   r e l a t i v o   e m   c .
  2. Se f ' ' c < 0 ,   f   t e m   u m   v a l o r   m á x i m o   r e l a t i v o   e m   c .

Assim, calculando a segunda derivada de L , temos:

L ' ' =   - 30 < 0 ⇒ É   p o n t o   d e   m á x i m o

Logo, podemos afirmar que o fazendeiro deve esperar 67 dias para obter o lucro máximo.

Resposta

67   d i a s  

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