Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 6c

Usar

r > 0     e   - 2 π < θ ≤ 0

Para escrever os pontos P 1 3 , - 1 e P 2 - 2 ,   - 2 em coordenadas polares.

Passo 1

As coordenadas polares r ,   θ   podem ser transformadas em coordenadas cartesianas ( x , y ) pela seguinte substituição:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Esses resultados podem ser concluídos pela definição de seno e cosseno. Observe a figura abaixo:

cos ⁡ θ = x r ⇒ x = r cos ⁡ θ

sin ⁡ θ = y r ⇒ y = r sin ⁡ θ

De forma análoga, as coordenadas cartesianas podem ser transformadas em coordenadas polares. Elevando ambos os membros das equações a cima ao quadrado, podemos escrever:

x 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ

y 2 = r 2 sin 2 ⁡ θ

Adicionando membro a membro, obtemos:

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ⇒ x 2 + y 2 = r 2

Portanto:

r = ± x 2 + y 2  

Para calcular θ , podemos utilizar cos ⁡ θ = x r e sin ⁡ θ = y r , depois de calculado r .

Assim, para P 1 :

r > 0

r = 3 2 + - 1 2 = 4 = 2

cos ⁡ θ = 3 2

sin ⁡ θ = - 1 2

⇒ θ = - π 6   o u   θ = 11 π 6

Como - 2 π < θ ≤ 0 ⇒ θ = - π 6

2 , - π 6  

E para P 2 :

r > 0  

r = - 2 2 + - 2 2 = 4 = 2

cos ⁡ θ = - 2 2

sin ⁡ θ = - 2 2

⇒ θ = - 3 π 4 ,   p o i s - 2 π < θ ≤ 0

2 , - 3 π 4  

Resposta

P 1 = 2 , - π 6   e   P 2 = 2 , - 3 π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 23 a 28, ache a equação polar da cônica que tem um foco na origem e que satisfaz as condições dadas.23. Parábola; vértice em 4 , 3 π 2
Nos exercícios de 23 a 28, ache a equação polar da cônica que tem um foco na origem e que satisfaz as condições dadas.25. Hiperbole ; e = 4/3 , r c o s θ = 9éad i r e t r i zc o r r e s p o n d e n t
Nos exercícios de 23 a 28, ache a equação polar da cônica que tem um foco na origem e que satisfaz as condições dadas.26. Hiperbole ; vétices em 1 ,π 2 e3 , π 2 .
Nos exercícios de 23 a 28, ache a equação polar da cônica que tem um foco na origem e que satisfaz as condições dadas.27. Elipse ; vétices em 3 ,0 e1 , π .
Nos exercícios de 11 a 22, a equação é de uma cônica tendo um foco na origem. Em cada exercício, (a) ache a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) escreva a equação da diretriz que corresponde