(a) Fibonacci propôs o seguinte problema: suponha que coelhos vivam para sempre e que a cada mês cada par produza um novo par, que se torna reprodutivo com meses de idade. Se começarmos com um par recém-nascido, quantos pares de coelhos teremos no -ésimo mês? Mostre que a resposta é , onde é a sequência de Fibonacci definida no Exemplo (c).

(b) Seja e mostre que . Supondo que seja convergente, encontre seu limite.

Bom, se queremos saber quantos pares temos hoje, é só pegar o que já tínhamos no mês anterior, e acrescentar os novos pares de filhotes gerados nesse mês, certo?

Então, se estamos falando do mês , o total neste mês () é a soma do total no mês anterior () e do total de pares gerados nesse mês. Mas quantos foram gerados?

Aí a gente lembra que cada par gera um novo par, então a gente deveria acrescentar ?

NÃO! Pois lembre-se, cada par demora meses pra começar a reproduzir, então a gente tem que acrescentar , resultando em:

(b) Agora vamos usar a relação de Fibonacci para mostrar que , sendo :

Que tal dividir tudo por ?

Lembre-se que

E se a gente trocar por , ou por , também teremos:

Então, voltando à equação:

É isso aí!

Show! Agora, supondo que é convergente, vamos encontrar seu limite? Pra isso, vamos tomar o limite dos dois lados da equação mostrada no item anterior:

Podemos usar o fato de que, quando a sequência converge, esses limites são iguais:

Pra facilitar a resolução dessa equação, vamos chamar o limite de , beleza?

Como o número de pares de coelho é sempre positivo, descartaremos a raiz negativa, então chegamos a:

Show?