Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 34
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo x. Tome os elementos retangulares de área paralelos ao eixo de revolução.
Passo 1
Primeiro vamos utilizar a imagem abaixo para saber qual região estamos usando para fazer a rotação:
A curva azul será e a vermelha . Como a região é simétrica em relação á origem, precisamos apenas rotacionar um dos ‘pedaços’ e multiplicar por 2 para obtermos a área da região. Usaremos a equação de volume por invólucro cilíndrico:
Passo 2
Vamos pegar o pedaço de cima, como o enunciado pede para fazermos a integral com elementos retangulares paralelos ao eixo x, eles serão horizontais, e por isso integraremos em y. Para escrevermos a f(y), vamos precisar subtrair a função mais à direita, que é a vermelha pela função que está à esquerda no pedaço de cima:
E o x na equação será substituído apenas por y, para fazermos a rotação em torno do eixo x. Os limites de integração serão , onde a curva vermelha limita, e , onde a curva azul limita. Nossa integral então ficará:
Passo 3
Agora vamos resolver a integral, primeiro reescrevemos o integrando:
Integrando cada termo:
Substituindo os limites:
Esse é o volume para o pedaço de cima, agora basta multiplicar esse resultado por 2 para obtermos o volume das duas partes juntas: