Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região no primeiro quadrante limitada pela curva y = cos(x^2) e pelos eixos coordenados em torno do eixo y.

Passo 1

Vamos utilizar a imagem abaixo para visualizarmos a região dada no enunciado

Como faremos a rotação dessa região, vamos usar a equação do volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como só temos a própria curva e a rotação é em torno do eixo y, precisamos apenas substituir a curva em f(x) na nossa equação. Os limites de integração serão x = 0 e, quando a função encosta no eixo x, ou seja quando y = 0 .

Vamos substituir esse valor na curva: y = c o s x 2 = 0

Então x será:

x = π 2

Nossa equação de volume ficará assim:

V = 2 π ∫ 0 π 2 x c o s x 2 d x

Passo 3

Para resolvermos a integral, faremos a seguinte substituição:

u = x 2 → d u = 2 x d x

Resolvendo primeiro a integral indefinida, ficamos com:

π ∫ c o s u d u

Integrando:

π s e n u + c

Retornando à variável x:

π s e n x 2 + c

Aplicando os limites de integração:

V = π

Resposta

V = π

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