A região no primeiro quadrante, limitada pela curva x = cos(y^2) pelo eixo y, e pelo eixo x, onde 0 ≤ x ≤ 1 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

Vamos utilizar a imagem abaixo para visualizarmos a região que é falada no enunciado:

Como é pedido o volume do sólido gerado pela rotação da região acima, vamos utilizar a equação de volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como a curva que o enunciado nos deu, está escrita em termos de y, precisamos encontrar os valores de y para os quais 0 ≤ x ≤ 1 , com isso obteremos os limites de integração:

x = c o s y 2 = 0

y = π 2

E para x = 1 :

x = c o s y 2 = 1

y = 0

Nossa integral então vai ficar:

2 π ∫ 0 π 2 y c o s y 2 d y

Passo 3

Faremos a seguinte substituição para resolvermos a integral:

u = y 2 → d u = 2 y d y

Primeiro fazendo a integral indefinida:

2 π ∫ y c o s y 2 d y

Substituindo y:

π ∫ c o s u d u

Integrando:

π s e n u + c

Retornando à variável y:

π s e n y 2 + c

Substituindo os limites de integração:

V = π

Resposta

V = π

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