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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 18

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

x =   2 y - y 2 ; x = 0

Passo 1

Temos a seguinte imagem gráfica:

Logo, queremos o volume do sólido em rotação do sólido formado pela interseção das curvas x =   2 y - y 2 ; x = 0 . Podemos perceber no gráfico que a variação no eixo y é 0 < y ≤ 1

Queremos usar o método da casca, porém a rotação agora é em torno do eixo x, logo, devemos usar a seguinte fórmula:

V =   ∫ a b 2 π y   f y d y

Em que f y =   =   2 y - y 2

Substituindo da fórmula acima, temos:

V =   ∫ 0 2 2 π y   (   2 y - y 2 ) d y

= 2 π ∫ 0 2 ( 2 y 2 - y 3 )   d y = 2 π 2 3 y 3 - y 4 4 1 0

= 2 π 2 3 - 1 4 = 2 π . ( 8 - 3 ) 12 = 2 π 5 12 = 5 π 6

Resposta

5 π 6

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 4 x - 1 8 x 4 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .
Nos exercícios de 21 a 24, a região é limitada pelas curvas x = y 2 - 2ex = 6 - y 2 gira em torno do eixo indicado. Ache o volume do sólido gerado.23.a reta x = 2
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x 3 e x = y 3 em torno do eixo x. Tome os elementos retangulares de área paralelos ao eixo de revolução.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = s e n ( x 2 ) , pelo eixo x e pelas retas x = 1 2 π e x = π em torno do eixo y.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por aquela reta e pela parábola x 2 = 4 y em torno da reta y = 1 . Tome os elementos retangulares de área paralelos ao eixo de revolução.