Demonstre cada afirmação usando ϵ δ a definição de limite.

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 5

Passo 1

Opa!Vamos fazer essa questão! O enunciado pede pra a gente escrever o limite dado em termos de ϵ e δ :

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 5

Para isso vamos precisar relembrar a definição de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Vamos reescrever essas condições sem os módulos e substituir as nossas variáveis pra ficar mais fácil visualizar:

- δ < x - 2 < δ

- ϵ < x 2 + x - 6 x - 2 - 5 < ϵ

Beleza, agora vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Temos que:

- ϵ < x 2 + x - 6 x - 2 - 5 < ϵ

Vamos manipular essa equação até conseguirmos relacionar ϵ e δ ! A primeira coisa que podemos fazer é fatorar f ( x ) , fazendo:

x 2 + x - 6 x - 2 = x + 3 x - 2 x - 2 = x + 3

Então temos:

- ϵ < x + 3 - 5 < ϵ

- ϵ < x - 2 < ϵ

Somando 2 em toda a inequação:

- ϵ + 2 < x < ϵ + 2

Lembrando que:

- δ < x - 2 < δ

- δ + 2 < x < δ + 2

Então por comparação podemos definir:

δ = ϵ

Passo 3

Podemos então escrever:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 5

Se 0 < x - 2 < ϵ então x 2 + x - 6 x - 2 - 5 < ϵ

Prontinho!

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 5

Se 0 < x - 2 < ϵ então x 2 + x - 6 x - 2 - 5 < ϵ

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