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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.2 - Ex. 34

A inclinação da reta tangente ao gráfico da função exponencial y = 2 x   no ponto ( 0,1 ) é lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x . Estime a inclinação até três casas decimais.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho!

Nesse problema foi dito que a inclinação da reta tangente da função y = 2 x no ponto 0,1 é dado por

lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x

A partir desse limite temos que estimar a inclinação em três casas decimais.

Parece complicado?

Não podemos simplesmente substituir x por 0 nesse limite pois assim vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 .

Então temos que aplicar alguma manipulação algébrica nessa fração para obter algum resultado...

Temos que saber duas coisas importantes para resolver esse problema: A primeira é uma propriedade de logaritmos que diz

e ln ⁡ a = a

E a outra coisa não é tão trivial, mas é importante sabermos que

lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1

Esse resultado é obtido a partir do famoso limite

lim x → 0 ⁡ 1 + 1 x x = e

Então o que vamos fazer é tentar manipular nosso limite para que ele se pareça com lim x → 0 ⁡ e x - 1 x (percebe que estruturalmente eles são parecidos?)

Bora começar!

Passo 2

Vamos usar a propriedade e ln ⁡ a = a para substituir o número 2 ...

lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 2 x - 1 x

Assim, multiplicando em cima e em baixo por ln ⁡ 2 , chegamos em

lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 2 e ln ⁡ 2 x - 1 ln ⁡ 2 x

lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x = ln ⁡ 2 lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 2 x - 1 ln ⁡ 2 x

Como a b c = a b c , temos

lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x = ln ⁡ 2 lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 2 x - 1 ln ⁡ 2 x

Agora temos que fazer uma substituição fazendo ln ⁡ 2 x = h no limite...

lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x = ln ⁡ 2 lim h → 0 ⁡ e h - 1 h

Perceba que

lim h → 0 ⁡ e h - 1 h = lim x → 0 ⁡ e x - 1 x

Apenas substituindo x por h .

Assim, usando a propriedade descrita no passo 1

lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1

Chegamos em

lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x = ln ⁡ 2 · 1

lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x = ln ⁡ 2

Utilizando uma calculadora temos que

lim x → 0 ⁡ ( 2 x - 1 ) x = 0,693

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

0,693

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