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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 6

Uma flecha é lançada para cima com uma velocidade de 58   m / s , e sua altura em metros após t segundos é dada por h = 58 t - 0,83 t 2 .

  1. Encontre a velocidade média durante os intervalos de tempo dados:

    2. i 1 ; 2 ,     i i 1 ; 1,5 ,     i i i 1 ; 1,1 ,     i v 1 ; 1,01 ,     v 1 ; 1,001

  2. Encontre a velocidade instantânea após 1 segundo.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a equação

h = 58 t - 0,83 t 2

Onde h é a altura em função do tempo de uma flecha lançada com uma velocidade inicial de 58   m / s .

A partir dessas informações temos que obter as velocidades médias da flecha nos intervalos

i 1 ; 2 ,     i i 1 ; 1,5 ,     i i i 1 ; 1,1 ,     i v 1 ; 1,01 ,     v 1 ; 1,001

E tambem queremos obter a velocidade instantânea em t = 1 s .

Parece complicado?

Para resolver esse problema temos que ter em mente que a velocidade média é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrer esse espaço...

v m e d = ∆ h ∆ t

Nesse caso podemos chamar ∆ h de h t + x - h t onde dado um intervalo t = t 0 ; t 1 , x é definido por

x = t 1 - t 0

E t = t 0 em v m e d .

Já para resolver o item b), temos que fazer x tender a 0 em v m e d

lim x → 0 ⁡ v m e d

Bora começar!

Passo 2

Podemos reescrever v m e d como

v m e d = ∆ h ∆ t = h t + x - h t t + x - t

v m e d = h t + x - h t x

Se t = t 0 , em todos os casos temos que t 0 = 1 , então

v m e d = h 1 + x - h 1 x

Logo, vamos obter as funções h 1 + x e h 1 para substituir em v m e d

Se h t = 58 t - 0,83 t 2 , temos

h 1 + x = 58 1 + x - 0,83 1 + x 2

h 1 + x = 58 + 58 x - 0,83 1 + 2 x + x 2

h 1 + x = 58 + 58 x - 0,83 - 1,66 x - 0,83 x 2

Simplificando no formato polinomial, temos

h 1 + x = - 0,83 x 2 + 56,34 x + 57,17

Agora calculando h 1 , chegamos em

h 1 = 58 1 - 0,83 1 2

h 1 = 57,17

Substituindo h 1 + x e h 1 em v m e d ...

v m e d = h 1 + x - h 1 x

v m e d = - 0,83 x 2 + 56,34 x + 57,17 - 57,17 x

Simplificando...

v m e d = - 0,83 x 2 + 56,34 x x

Perceba que podemos simplificar x no numerador e no denominador...

v m e d = x - 0,83 x + 56,34 x

v m e d = - 0,83 x + 56,34

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora só vamos ter o trabalho de substituir x na função...

Para o primeiro intervalo, temos i 1 ; 2

Como x = t 1 - t 0

x = 2 - 1 = 1

Substituindo em v m e d , temos

v m e d ,   x = 1 = - 0,83 1 + 56,34

v m e d ,   x = 1 = 55,51 m / s

Para o intervalo i i 1 ; 1,5 calculamos x como

x = 1,5 - 1 = 0,5

Logo, sua velocidade média é dada por

v m e d ,   x = 0,5 = - 0,83 0,5 + 56,34

v m e d ,   x = 0,5 = 55,92 m / s

Para o intervalo i i i 1 ; 1,1 , temos

x = 1,1 - 1 = 0,1

Portanto a velocidade média desse intervalo é dado por

v m e d ,   x = 0 , 1 = - 0,83 0 , 1 + 56,34

v m e d ,   x = 0,1 = 56,26 m / s

Para o quarto intervalo: i v 1 ; 1,01

x = 1,01 - 1 = 0,01

Logo...

v m e d ,   x = 0 , 0 1 = - 0,83 0 , 0 1 + 56,34

v m e d ,   x = 0,01 = 56,33 m / s

Por último, para o intervalo v 1 ; 1,001

x = 1,001 - 1 = 0,001

Calculando a velocidade média desse intervalo...

v m e d ,   x = 0,0 0 1 = - 0,83 0,0 0 1 + 56,34

v m e d ,   x = 0,001 = 56,34 m / s

Show?

Passo 4

Por fim, vamos calcular a velocidade instantânea em t = 1 s fazendo x = 0 s

lim x → 0 ⁡ v m e d

Ou seja

v t = 1 s = - 0,83 0 + 56,34

v t = 1 s = 56,34 m / s

Prontinho! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

(a)

v m e d ,   x = 1 = 55,51 m / s

v m e d ,   x = 0,5 = 55,92 m / s

v m e d ,   x = 0,1 = 56,26 m / s

v m e d ,   x = 0,01 = 56,33 m / s

v m e d ,   x = 0,001 = 56,34 m / s

(b)

A velocidade após 1 segundo é 56,34   m / s .

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