Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 56

Seja a caixa como da figura abaixo:

Onde os lados da base medem e a altura mede . O volume desta caixa é dado por:

Como, por hipótese, a caixa tem volume de temos:

Note que, como e são medidas dos lados da caixa temos e .

Vamos determinar a área total da caixa.

Área da base: ;

Área do teto: ;

Área lateral: ;

Área total: .

De (1):

Como a equação da área só depende da variável podemos reescrever:

Derivando temos:

Como existe para todo , temos que os pontos críticos de ocorrem quando . Assim:

Vamos fazer o estudo de sinal da derivada em torno de . Assim:

Se temos , logo é decrescente;

Se temos , logo é crescente.

Logo, em temos um ponto de mínimo da função . Substituindo em (1) temos:

Portanto, uma caixa aberta com uma base quadrada com volume de deve ter de comprimento do lado da base e de altura para gastar o mínimo de material.