A Figura 0.48 é uma “prova por imagens”de que a reflexão do ponto P(a, b) pela reta y = x é o ponto Q(a, b) . Demonstre isso rigorosamente com os passos seguintes.

  1. Prove que, se P não estiver na reta y = x , então P e Q são distintos e a reta P Q - por P e Q é perpendicular à reta y = x .
  2. Prove que, se P não estiver na reta y = x então o ponto médio do segmento P Q está na reta y = x
  3. Explique cuidadosamente o significado geométrico de refletir P pela reta y = x .
  4. Use os resultados das partes (a - c) para provar que Q é a reflexão de P pela reta y = x

Passo 1

  1. Vamos tratar P ( a , b ) não estando na linha y = x e Q a , b em outro ponto. Queremos provar que o segmento de reta P Q é perpendicular a reta y = x .

    A inclinação da linha y = x = 1 e a inclinação do segmento P Q = b - a a - b = - 1 .

    Dessa forma o segmento de ( y = x ) e o segmento P Q = 1 . - 1 = - 1 .   Atestando a perpendicularidade.

    Passo 2

Nós vamos provar que o ponto médio no segmento P Q está na linha y = x . Considerando que P   e Q não estão alinhados. O ponto médio do segmento P Q   deve ser P Q = a + b 2 , a + b 2 , dessa forma o ponto médio consegue estar na linha x = y . Se:

y = x = a + b 2

Passo 2

(c)

Geometricamente, Q é reflexo de P sobre alinha x = y e isso significa que o segmento de reta P Q está sobre a linha y = x , e o segmento de reta será perpendicular a linha e o ponto médio está na linha y = x .

Passo 3

(d)

Para provar que Q é a reflexão de P olhamos o ponto médio que está acima da linha e que o segmento de reta é perpendicular a linha y = x .   Isso significa que Q   é reflexão de P .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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