Mostre que, para quaisquer constantes A e k , a função y = A * e^(kt) satisfaz a equação dy/dt = k * y

Passo 1

Já que a questão fala de d y / d t a gente pode começar calculando ele né?

y   =   A e k t

Derivando dos dois lados em relação à t :

d y d t   = d A e k t d t

Como   A é constante pode sair da derivação, e já usando a regra da cadeia temos que:

d y d t   = A   d e k t d t = A   k t ' ( e k t ) '

Então a gente chega que:

d y d t   = A   k   e k t

Passo 2

Mas não chegamos no que esperávamos, ou seja:

d y d t =   k y

Mas se organizarmos melhor a expressão que a gente encontrou fica assim olha:

d y d t   = A   k   e k t = k   ( A e k t )

Masss A e k y = y   lembra? Então chegamos exatamente aonde a gente queria

d y d t   =   k   ( A e k t ) =   k y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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