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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 19

Find an equation of the curve that passes through the point (0, 2) and whose slope at (x, y) is x/y

Passo 1

A sacada dessa questão é perceber que estamos com uma equação diferencial de variável separável. Podemos reescrever nossos dados como

d y d x = x y

y 0 = 2

Ficou mais fácil agora ver o que devemos fazer? Tudo que for y vai para um lado, tudo que for x vai para o outro.

d y d x = x y

y   d y = x   d x

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

∫ y   d y   = ∫ x   d x

y 2 2 = x 2 2

y 2 = x 2

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C.

y 2 = x 2 + C

Passo 3

Vamos descobrir agora descobrir o valor de C, já que temos dados de contorno

y 0 = 2

y 2 = x 2 + C

2 2 = 0 + C

C = 4

Então podemos escrever nossa função como

y 2 = x 2 + 4

y 2 - x 2 = 4

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y 2 - x 2 = 4

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