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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 46

Fio helicoidal com densidade constante - Encontre a massa e o centro de massa de um fio de densidade constante δ que está ao longo da hélice r t = 2 sen ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j + 3 t k , 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A massa do fio é:

M = ∫ δ   d s = δ ∫ d s = δ   ∫ 0 2 π d s

Porque δ é uma constante, neste caso, nós temos que

d s = x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2

Substituindo os valores, nós temos que

d s = 2 cos ⁡ t 2 + - 2 sen ⁡ t 2 + 3 2   d t = 4 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t + 9   d t

Que tem como resultado

d s = 13   d t

Portanto, a massa é

M = δ ∫ 0 2 π 13   d t = 2 π 13   δ

Passo 2

Agora, vamos calcular os momentos de inércia sobre os planos coordenados

M y z = ∫ x δ   d s = δ ∫ 0 2 π x t 13   d t

Separando a constante

M y z = 13   ∫ 0 2 π 2 sen ⁡ t   d t = 2 13 δ - cos ⁡ t 0 2 π = 0

Para o momento M x z

M x z = ∫ y δ   d s = δ ∫ 0 2 π y t 13   d t

Novamente, fazendo a separação da constante

M x z = 13   ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ t   d t = 2 13 δ sen ⁡ t 0 2 π = 0

E para M x y

M x y = ∫ z δ   d s = δ ∫ 0 2 π z t 13   d t

Fazendo a separação da constante

M x z = 13   ∫ 0 2 π 3 t   d t = 2 13 δ t 2 2 0 2 π = 3 2 13 δ 4 π 2 = 6 13 π 2 δ

Assim, o centro de massa está localizado em

x - , y - , z - = 0 2 13 π δ ,   0 2 13 π δ , 6 13 π 2 δ 2 13 π δ

Simplificando os termos

x - , y - , z - = ( 0,0 , 3 π )

Resposta

M = 2 π 13   δ

x - , y - , z - = ( 0,0 , 3 π )

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