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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 53

Nos Exercícios 53-56, encontre o fluxo exterior de F através da fronteira de D

53. Cubo F = 2 x y i + 2 y z j + 2 x z k

D: O cubo cortado do primeiro octante pelos planos x = 1, y = 1, z = 1.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Podemos notar que tanto F quanto a região D (com fronteira S), satisfazem a hipótese do Teorema da Divergência. De modo que, aplicando este teorema, o fluxo para fora do campo vetorial através do limite da região é dado por

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V

Neste caso, a divergência do campo vetorial é

∇ ∙ F = ∂ ∂ x 2 x y + ∂ ∂ y 2 y z + ∂ ∂ z 2 x z

Com isso, nós temos que

∇ ∙ F = 2 y + 2 x + 2 z = 2 x + y + z

Passo 2

Portanto, o fluxo é igual a

∬ F ∙ n   d σ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x + y + z   d z d y d x

Desenvolvendo os termos

∬ F ∙ n   d σ = 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x z + y z + z 2 2 0 1 d y d x = 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y + 1 2 d y d x

Esta integral fica da seguinte forma

∬ F ∙ n   d σ = 2 ∫ 0 1 x y + y 2 + y 2 2 0 1 d x = 2 ∫ 0 1 x + 1   d x

Com isso, nós temos que

∬ F ∙ n   d σ = 2 1 2 + 1 = 3

Resposta

∬ F ∙ n   d σ = 3

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