Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 49
Peste do estanho. Quando o estanho metálico é mantido abaixo de , torna-se lentamente quebradiço e acaba por esfarelar. Se objetos de estanho forem mantidos durante anos a baixas temperaturas, eventualmente, esfarelam-se espontaneamente. Os europeus que observaram os tubos de estanho dos órgãos das igrejas se desintegrarem no passado chamavam essa transformação de peste do estanho, porque parecia ser contagiosa, e de certa forma era, pois o pó cinza catalisa a própria formação.
Um para uma reação química é uma substância que aumenta a velocidade da reação sem sofrer alteração permanente. Uma é aquela em que o o
produto é o catalisador da própria formação. Uma reação desse tipo pode ocorrer lentamente no início, quando a quantidade de catalisador presente é pequena, e também no final, quando a maior parte da substância original já foi consumida. Mas, nesse intervalo, quando tanto a substância original quanto o produto catalisador são abundantes, a reação ocorre mais rapidamente.
Em alguns casos, é razoável admitir que a velocidade da reação é proporcional tanto à quantidade de substância original quanto à quantidade de produto. Ou seja, pode ser expressa em função apenas de , e
Onde
quantidade do produto;
quantidade de substância no início;
constante positiva.
Com que valor de a velocidade apresenta um máximo? Qual é o valor máximo de ?
Passo 1
Para descobrirmos o valor de na qual a apresenta um máximo, temos que pegar a expressão de , derivar e igualar a zero! “OOOOXE, como assim?” Não se assutem, galera! Esse é o procedimento comum a se fazer quando estamos tratando de máximos e mínimos, beleza? Se tiver com alguma dúvida ainda, tente dar uma relembrada lá nas seções anteriores do George, belê? Sendo assim, teremos:
Passo 2
Para descobrir se o valor de que encontramos é, de fato, um máximo, temos que utilizar a derivada segunda para ver se a concavidade nesse ponto é para cima ou para baixo. Se derivarmos pela segunda vez, teremos:
Perceba que é uma constante, então o valor de é negativo, certo? Se é negativo, isso implica que o gráfico da função tem concavidade para baixo, o que implica em um máximo! A conclusão que tiramos disso é que, de fato, é um máximo. Substituindo esse ponto na expressão original, teremos: