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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 56

Encontre o volume do sólido S descrito. A base de S é a região triangular com vértices ( 0,0 ) ,   ( 1,0 ) , e ( 0,1 ) . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são triângulos equiláteros.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que encontrar o volume do solido onde a base de S é a região triangular com vértices ( 0,0 ) ,   ( 1,0 ) , e ( 0,1 ) . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são triângulos equiláteros

Pensando no enunciado temos a seguinte figura:

Veja só!

Passo 2

A seção transversal da base corresponde à coordenada y que tem comprimento x = 1 - y . O triângulo equilátero correspondente com lado s tem área

A y = s 2 3 4 = 1 - y 2 3 4

Assim sendo, nosso volume é:

V = ∫ 0 1 A y d y = ∫ 0 1 1 - y 2 3 4 d y

V = 3 4 ∫ 0 1 1 - 2 y + y 2 d y

Calculando a integral e aplicando os limites de integração...

V = 3 4 y - y 2 + 1 3 y 3 0 1

V = 3 4 1 3

V = 3 12

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

V = 3 12

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Encontre o volume do sólido S descrito.A base de S é um disco circular de raio r . Secções transversais paralelas, perpendiculares à base, são quadradas.
Escreva uma integral para um toro sólido (o sólido com formato de rosquinha da figura) com raios r e R .Interpretando a integral como uma área, encontre o volume do toro.
Ache o volume comum aos dois cilindros circulares, cada qual com raio r , se os eixos dos cilindros se interceptam em ângulos retos.
Um buraco de raio r é perfurado pelo centro de uma esfera de raio Rr . Encontre o volume da porção remanescente da esfera.