Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 68
Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo; assim, sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo seu combustível) seja , o combustível seja consumido a uma taxa , e os gases de exaustão sejam ejetados a uma velocidade constante (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete no instante é dado pela seguinte equação
onde é a aceleração da gravidade e não é muito grande. Se , , e , encontre a altitude do foguete minuto após o lançamento.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a altitude do foguete minuto após o lançamento.
Para isso, o enunciado nos deu a seguinte função que mostra a velocidade do foguete no instante (em segundos):
Onde é a aceleração da gravidade, é a velocidade relativa ao foguete em que os gases de exaustão são ejetados, é a massa inicial do foguete (incluindo a do combustível) e é a taxa de consumo do combustível.
Nesse sentido, como queremos calcular a altitude do foguete minuto após o lançamento, devemos integrar no intervalo de a segundos.
Mas por quê?? Bom... lembra que a derivada do espaço em relação ao tempo é a velocidade?? Pois aqui a gente está fazendo simplesmente o contrário e encontrando agora o espaço.
Agora vamos lá!! 😉
Passo 2
Em outras palavras, vamos calcular o seguinte:
Os limites de integração correspondem ao período de tempo que queremos analisar, em segundos.
Passo 3
Calculando:
integrando o terceiro termo:
Passo 4
Para facilitar nossa resolução dessa integral que restou, iremos fazer por partes, onde:
Vamos adotar o seguinte:
Assim, nossa integral vale
Passo 5
Assim, substituindo na integral do Passo 3:
Aplicando os dados da questão:
, , , e
Obtemos:
Entendeu direitinho?? 😉