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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 54

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável colocando em um gráfico um integrando e sua primitiva (tome c = 0 ).

∫ sec 4 ⁡ x 2 d x

Passo 1

Calma jovem, vamos calcular essa integral de um jeito que você vai entender, vamos lá? Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec 2 ⁡ x 2 = tan 2 ⁡ x 2 + 1 . Então, substituindo

∫ sec 4 ⁡ x 2 d x = ∫ sec 2 ⁡ x 2 sec 2 ⁡ x 2 d x = ∫ tan 2 ⁡ x 2 + 1 sec 2 ⁡ x 2 d x

Agora, podemos resolver esta integral pelo método da substituição

Seja u = tan ⁡ ( x / 2 ) , temos que 2 d u = sec 2 ⁡ ( x / 2 ) . Substituindo

∫ tan 2 ⁡ x 2 + 1 sec 2 ⁡ x 2 d x = 2 ∫ u 2 + 1 d u = 2 1 3 u 3 + u + c = 2 3 tan 3 ⁡ x 2 + 2 tan ⁡ x 2 + c

Passo 2

Esboçando os gráficos, ficamos com ( f → p r e t o ,     F → c i n z a )

Vemos no gráfico que isso é razoável, pois F aumenta onde f é positivo e F diminui onde f é negativo. Ainda, vemos que F não tem uma tangente horizontal e f nunca é zero

Resposta

∫ sec 4 ⁡ x 2 d x = 2 3 tan 3 ⁡ x 2 + 2 tan ⁡ x 2 + c

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