Um foguete que queima o combustível carregado dentro de si enquanto se move no espaço tem, no instante t , velocidade v t e massa m t . Se os gases provenientes da combustão escapam a uma velocidade de v e relativamente ao foguete, deduz-se da Segunda Lei de Newton do movimento que

m d v d t = d m d t v e

(a) Mostre que v t = v 0 - ln ⁡ m 0 m t v e .

(b) Para que, em linha reta, o foguete acelere do repouso para o dobro da velocidade escalar de escape de seus gases de combustão, que fração de sua massa inicial o foguete deverá queimar como combustível?

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver juntos essa atividade.

Temos uma situação onde um foguete se move no espaço, com velocidade v t e massa m ( t ) , e durante seu movimento é expelido dele os gases da combustão, em sentido contrário e com velocidade relativa ao foguete de v e . Devemos mostrar que, dada a equação:

m d v d t = d m d t v e

v t = v 0 - ln ⁡ m 0 m t

Isso é, devemos mostrar que a velocidade do foguete em determinado tempo t = t é dada por essa relação.

Para isso, devemos integrar em ambos os lados da equação que nos foi dada, partindo do tempo t = 0 até o tempo t = t .

Em relação ao que pede a letra b), queremos descobrir o quanto de combustível é necessário para que o foguete acelere de v = 0 , isso é, do repouso, até o dobro da sua velocidade de escape dos gases v e , isso é, queremos saber a relação m t m 0 quando v t = 2 v e , e para isso basta substituirmos essa relação entre as velocidades na equação:

v t = v 0 - ln ⁡ m 0 m t

Passo 2

  1. Dada a equação de Newton:

m d v d t = d m d t v e

Vamos escrevê-la da seguinte forma, para que possamos integrar ambos os lados:

d v = v e 1 m   d m

Agora vamos integrar os dois lados, do instante 0 até t :

∫ v ( 0 ) v ( t ) d v = v e ∫ m ( 0 ) m ( t ) 1 m   d m

Realizando a integral:

v t 0 t = v e ln ⁡ m t 0 t

v t - v 0 = v e ln ⁡ m t - ln ⁡ m 0

Utilizando da propriedade dos logaritmos ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b :

v t = v 0 - ln ⁡ m 0 m t v e

Conseguimos então provar o que foi pedido.

Passo 3

(b) Colocando em termos de equação, o foguete acelerar do repouso para o dobro da velocidade escalar de escape de seus gases significa:

v t = 2 v e   ;   v 0 = 0

Vamos usar então a equação do item anterior para v t :

2 v e = v t

Substituindo na equação:

2 v e = v 0 - ln ⁡ m 0 m t v e

Como partimos do repouso, v 0 = 0 :

2 v e = 0 - ln ⁡ m 0 m t v e

Então,

2 v e = ln ⁡ m 0 m t v e

Show! Vamos tentar resolver a equação do passo anterior de modo a isolar a expressão m t m 0 , que representa a fração de combustível que ainda deve restar no foguete:

2 = ln ⁡ m 0 m t

Utilizando o logaritmo:

m 0 m t = e 2

Então, a fração de combustível que deve ser consumida é:

m t m 0 = e - 2

Resposta

(a) Ver o desenvolvimento.

(b) 1 - e - 2 ≈ 86,47   %

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