Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 46
Um foguete que queima o combustível carregado dentro de si enquanto se move no espaço tem, no instante , velocidade e massa . Se os gases provenientes da combustão escapam a uma velocidade de relativamente ao foguete, deduz-se da Segunda Lei de Newton do movimento que
(a) Mostre que .
(b) Para que, em linha reta, o foguete acelere do repouso para o dobro da velocidade escalar de escape de seus gases de combustão, que fração de sua massa inicial o foguete deverá queimar como combustível?
Passo 1
Olá, meu amigo. Vamos resolver juntos essa atividade.
Temos uma situação onde um foguete se move no espaço, com velocidade e massa , e durante seu movimento é expelido dele os gases da combustão, em sentido contrário e com velocidade relativa ao foguete de . Devemos mostrar que, dada a equação:
Isso é, devemos mostrar que a velocidade do foguete em determinado tempo é dada por essa relação.
Para isso, devemos integrar em ambos os lados da equação que nos foi dada, partindo do tempo até o tempo .
Em relação ao que pede a letra b), queremos descobrir o quanto de combustível é necessário para que o foguete acelere de , isso é, do repouso, até o dobro da sua velocidade de escape dos gases isso é, queremos saber a relação quando , e para isso basta substituirmos essa relação entre as velocidades na equação:
Passo 2
- Dada a equação de Newton:
Vamos escrevê-la da seguinte forma, para que possamos integrar ambos os lados:
Agora vamos integrar os dois lados, do instante até :
Realizando a integral:
Utilizando da propriedade dos logaritmos :
Conseguimos então provar o que foi pedido.
Passo 3
(b) Colocando em termos de equação, o foguete acelerar do repouso para o dobro da velocidade escalar de escape de seus gases significa:
Vamos usar então a equação do item anterior para :
Substituindo na equação:
Como partimos do repouso, :
Então,
Show! Vamos tentar resolver a equação do passo anterior de modo a isolar a expressão , que representa a fração de combustível que ainda deve restar no foguete:
Utilizando o logaritmo:
Então, a fração de combustível que deve ser consumida é:
Resposta
(a) Ver o desenvolvimento.
(b)