Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 57
Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Preparados para resolver um problema de aproximação de integral usando séries?! Vamos nessa!
Vamos começar analisando a integral fornecida na questão:
Entender a relação entre a integral e o somatório é crucial. Ao multiplicarmos pela série de , estamos basicamente multiplicando termo a termo. Isso nos permite expressar a função a ser integrada como uma nova série infinita.
Com o auxílio da Tabela 1, temos que, para , podemos expressar como uma série:
É importante ressaltar que a série é aplicável por os limites de integração da nossa integral estão dentro do intervalo onde a série é convergente, ou seja, .
Passo 2
Agora que entendemos a relação entre a integral e a série da função , substituiremos por sua série correspondente na expressão da integral, o que nos permitirá representar a integral como uma série infinita.
Dessa forma, para :
Para integrar cada termo da série, basta aplicar a regra de integração para polinômios:
onde C é uma constante de integração.
Portanto, a integral termo a termo da série é dada por:
Passo 3
Como estamos lidando com , podemos calcular a integral como uma série:
Somando os três primeiros termos, temos:
O quarto termo possui o valor de:
Sendo assim, para a precisão pedida no enunciado, esse termo já seria irrelevante, dessa forma, pelo teorema da estimativa das séries alternadas: