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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 38

Se f for uma função definida por f x = 2 x - 4 - 6 , então f - 1 = 0 e f 5 = 0 . Mas f ' não se anula nunca. Mostre por que o teorema de Rolle não é válido.

Passo 1

Vamos fazer o estudo do comportamento de f para cada intervalo de x :

f x = 2 x - 4 - 6 = 2 x - 4 - 6 ,   s e   2 x - 4 ≥ 0 - 2 x - 4 - 6 ,   s e   2 x - 4 < 0 ⇒

f x = 2 x - 4 - 6 ,   s e   2 x ≥ 4 - 2 x + 4 - 6 ,   s e   2 x < 4 ⇒

f x = 2 x - 10 ,   s e   x ≥ 2 - 2 x - 2 ,   s e   x < 2

Passo 2

Como x = - 1 < 2 temos:

f - 1 = - 2 - 1 - 2 ⇒

f - 1 = 2 - 2 ⇒

f - 1 = 0

Como x = 5 > 2 temos:

f 5 = 2 5 - 10 ⇒

f 5 = 10 - 10 ⇒

f 5 = 0

Logo, f - 1 = f ( 5 ) = 0 , como queríamos mostrar.

Passo 3

Note que para - 1 < x < 2 , temos f x = - 2 x - 2 . Como f é uma função polinomial, será derivável neste intervalo. Da forma similar, se 2 < x < 5 , temos f x = 2 x - 10 , que é uma função polinomial. Logo f é derivável neste intervalo.

Assim precisamos verificar se f é derivável em x = 2 . Da definição de derivada temos:

f + ' 2 = lim x → 2 + ⁡ f x - f ( 2 ) x - 2 ⇒

f + ' 2 = lim x → 2 + ⁡ 2 x - 10 - ( 2.2 - 10 ) x - 2 ⇒

f + ' 2 = lim x → 2 + ⁡ 2 x - 10 - ( 4 - 10 ) x - 2 ⇒

f + ' 2 = lim x → 2 + ⁡ 2 x - 10 + 6 x - 2 ⇒

f + ' 2 = lim x → 2 + ⁡ 2 x - 4 x - 2 ⇒

f + ' 2 = lim x → 2 + ⁡ 2 ( x - 2 ) x - 2 ⇒

f + ' 2 = lim x → 2 + ⁡ 2 ⇒

f + ' 2 = 2

E também:

f - ' 2 = lim x → 2 - ⁡ f x - f ( 2 ) x - 2 ⇒

f - ' 2 = lim x → 2 - ⁡ - 2 x - 2 - ( 2.2 - 10 ) x - 2 ⇒

f - ' 2 = lim x → 2 - ⁡ - 2 x - 2 - ( 4 - 10 ) x - 2 ⇒

f - ' 2 = lim x → 2 - ⁡ - 2 x - 2 + 6 x - 2 ⇒

f - ' 2 = lim x → 2 - ⁡ - 2 x + 4 x - 2 ⇒

f - ' 2 = lim x → 2 - ⁡ - 2 ( x - 2 ) x - 2 ⇒

f - ' 2 = lim x → 2 - ⁡ - 2 ⇒

f - ' 2 = - 2

Assim f + ' 2 ≠ f - ' 2 , logo f não é derivável em x = 2 e não satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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