Verifique se as três condições da hipótese do teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Então, ache um valor adequado de c que satisfaça a conclusão do teorema de Rolle. Faça um esboço do gráfico de f no intervalo e use-o para dar a interpretação geométrica desse teorema.

f(x) = 2 * sen(3x); [0, pi/3]

Passo 1

Observe que f é uma composição envolvendo uma função trigonométrica e uma polinomial. Logo f é contínua e derivável para todo valor de x real. Em particular, f é contínua em 0 , π 3 e derivável em 0 , π 3 .

Passo 2

Observe que:

f 0 = 2 s e n 3.0 ⇒

f 0 = 2 s e n 0 ⇒

f 0 = 2.0 ⇒

f 0 = 0

E também:

f π 3 = 2 s e n 3 . π 3 ⇒

f π 3 = 2 s e n π ⇒

f π 3 = 2.0 ⇒

f π 3 = 0

Portanto, f 0 = f π 3 e as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas.

Passo 3

Logo, existe c ∈ 0 , π 3 de forma que f ' c = 0 .

Das regras de derivação temos:

f ' x = 2 cos ⁡ 3 x . 3 ⇒

f ' x = 6 c o s ⁡ ( 3 x )

Assim:

f ' c = 6 cos ⁡ 3 c = 0 ⇒

6 cos ⁡ 3 c = 0 ⇒

cos ⁡ 3 c = 0 ⇒

3 c = π 2 + k π ,   k ∈ Z ⇒

c = π 6 + k π 3 ,   k ∈ Z

Como c ∈ 0 , π 3 , temos c = π 6 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar os máximos e mínimos absolutos da função y = 10 * x * (2 - ln(2x)) no intervalo [0, e^2] .
Encontrar os máximos e mínimos absolutos da função y = x * ln(2x) - x no intervalo [1 / (2 * e), e / 2] .
Fazer o gráfico da funçãof(x) = ln(x) / raiz(x) Depois, estimar os valores extremos, identificar as coordenadas dos pontos de inflexão eos intervalos nos quais os gráficos são côncavos para cima ou pa
A soma de dois números não negativos é 20. Diga quais serão esses númerosSe o produto de um número multiplicado pela raiz quadrada de outro tiver que ser o maior possível.
Fazer o gráfico da funçãof(x) = x * ln(x) Depois, verificar se ela possui um mínimo absoluto.